積分の問題で北海道大学の過去問

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目次
【１】お知らせ

【２】過去に紹介した問題
　　「積分の問題で北海道大学の過去問」

【３】今週の無料添削問題
　　　解説「文字消去の問題」
　　　問題「２変数関数の最大値、最小値の問題」

【４】本日の勉強法
　　　「数学の問題は解けるようになっている」

【５】編集後記

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【１】お知らせ

　こんにちは、河見です。いつもメルマガを読んでくれてありがとうご
　ざいます。

　今週はすごく寒かったです。一昨日、外に出るとまるで真冬のようで
　した。なんだかすごい気温差が激しいですね。

　風邪をひかないように気をつけてください。

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【２】過去の問題の紹介

　数学IIIの積分の問題です。確か、北海道大学の過去問でやや難しい問
　題です(北大なら標準かやや簡単な問題)

　理系の受験生は、そろそろ本格的な受験問題もとりかかるようになっ
　てきたと思うので、紹介することにしました。

　今回の問題は、ある関数とx軸にかこまれた部分の面積を求める問題で
　す。面積を求めよとなると、多くの人が「微分をして、グラフをかい
　て、上下関係を調べて・・・」と考える人がいますが、面積や体積を
　求める問題ではグラフをかくのにわざわざ微分をする必要がない問題
　も少なくありません。

　面積や体積を求めるときに、正確なグラフは必要ありません。あくま
　で必要なのはグラフの上下関係だけです。上下関係だけなら、わざわ
　ざ微分をしなくても大雑把な考え方で分かる場合が多いです。

　今回もそういった問題の一種です。ぜひとも考え方を身につけておい
　てください。

　また、定積分を解くときに「特殊基本関数」といった知識を使います。
　よく分数や積の積分をみると、何も考えずに置換積分や部分積分をし
　ようとする人が多いですが、まずはこの特殊基本関数ではないかと疑
　うようにしてください。

　というのも、特殊基本関数でも部分積分でも解ける問題だと、前者の
　方がはるかに短時間で解くことができるからです(今回の問題ぐらい
　なら３分ぐらいで解けてしまう！)。

　理系の受験生にとっては重要な事柄ばかりです。ぜひとも理解してお
　いてください。
http://www.hmg-gen.com/kaitou3-10.pdf

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【３】今週の無料添削問題

　解説
　今回の問題は文字消去に関する問題です。

　数学の一番の基本といってもいいのですが、数学ではとにかく文字の
　数が多いほど考えにくいです。そこで、文字の数を減らせるときは何
　よりもまず文字の数を減らしてから考えていきます。

　この考えに則っていけば、自然と解けるようになっています。

　また、今回の問題がa+b+c=0という条件です。

　こういうふうにa+b+c=(一定)のときはa+b=(一定)-c,b+c=(一定)-a,
　c+a=(一定)-bというふうな文字消去の仕方をすることがあります。

　この文字消去の仕方も頻出です。ぜひとも２通りの解法、ともにしっか
　りと解けるようになっておいてください。
http://www.hmg-gen.com/k-tensaku110922.pdf

　今回のユーチューブを使って解説をしました。プリントを見るのが
　面倒だという人は、こちらの動画で勉強をしてください。
http://youtu.be/MeDhDOGuNpM

　問題
　今回の問題は、「x^2+y^2=1のとき、x+yの最大値、最小値は？」といっ
　た問題です。

　数学IIの手法でも解けます(数学IIでは図形と式を使った解法、三角関
　数を使った解法の２通り)が、数学Iの解法でも解けます。

　「x+yの最大値、最小値を求めよ」といった問題のように２変数関数の
　最大値、最小値は、ほとんどの問題で１変数関数にすることができま
　す。

　ですが、この問題は２変数関数を１変数に直そうとすればとても汚い
　式になってしまいます。

　通常のやり方では、解くことができないので、工夫して解く必要があ
　ります。

　一見難しそうですが、基本的な問題ですよ。チャレンジしてみてくだ
　さい。

　問題はこちらから
http://www.hmg-gen.com/tensaku111005.pdf

　提出方法はこちらから
http://www.hmg-gen.com/tensaku.html

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【５】本日の勉強法　「数学の問題は解けるようになっている」

　今回の添削問題の文字消去の問題を見てもらっても分かると思います
　が、この問題は「なぜだか知らないけど、文字消去をするとうまく解
　けてしまいます」

　実は、数学ってこういった問題が多いんです。「こういうときはこう
　やって・・・そうするとなぜだか解けてしまう」

　「どうしてそういうふうに解くんですか？」と聞かれたことがありま
　すが、「いや、こうしたらうまく解けることが多いから」と答えるし
　かありません。

　数学の問題ってあたり前なんですけど、解けるようになってくれてい
　ます。そして、何種類かのルールというか決まりごとがあり、それに
　則っていけば、自然と解けてしまいます。

　先日、教えている生徒さんから「河見先生の授業をうけてから、数学
　ってむりくり解くっていうのが分かりました」なんて言われました。

　私としては別に無理やり解いている訳じゃないんですけど、生徒さん
　にはそう思えたみたいですね。私は「こうやったら解ける」と覚えて
　いてそれを解説しただけです。

　その生徒さんが質問をした問題は、以下のようなシグマに関する問題
　です。
http://www.hmg-gen.com/situmon/suugaku2B/2B-17.html

　「シグマの問題で、公式が使えない時はかならず互いに打ち消しあう
　形になってくれている。そうじゃないとこういった問題は解くことが
　できない。こういった問題のときは、強引に式変形をして互いに打ち
　消し合う形にもっていく」

　というふうな解説をしました。

　よく数学ってセンス、センスって言いますけど、こういったことをひ
　とつずつ丁寧に解いていけば自然とできるようになりますよ。

　問題集を解くときでも、ただ適当に解くだけでなくなぜそこでそのよ
　うに考えたのか？式変形をしたのか？ということを考えながら解くよ
　うにしてください。

　そうすると、自然と解法を覚えられて解くことができるようになりま
　すよ。

　がんばってください。

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【５】編集後記

　先ほど「むりくり」という言葉をかきました。

　「むりくり」って最近よく聞くなと思って、ネットで少し調べてみた
　ところ、もともと北海道の方言だったそうですね。それが、全国でも
　使われるようになったみたいです。

　そう言えば、教えているその生徒さんも北海道在住の方でした。

　僕はスカイプと言うテレビ電話を使って１対１で授業をしていますが、
　教えている人も全国ばらばらです。

　北海道の人を教えたかと思えば、九州に、東京に大阪にとなるとなん
　だか、すごいなと感じます。

　全国の人に授業ができるなんてなんかスゴイですね。これからも頑張
　っていきたいと思います。

　河見賢司

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